Funzione continua, calcolo dei limiti e forme indeterminate

Preparati per l’esame di Matematica dell’Università. Scopri quando una funzione è continua! Impara a calcolare i limiti e a risolvere le forme indeterminate!

Appunti

Dopo uno studio di funzione devi disegnare il grafico della funzione, se puoi disegnarla senza staccare la matita dal foglio, allora la funzione è continua. Ma possiamo analizzare se è continua in un solo punto, in un intervallo o nel suo dominio? Lo strumento che ci permette di capire se è continua in un punto o in un intervallo, e quindi anche nel dominio, è il limite.

Inoltre, come sappiamo, le funzioni spesso sono formate dalla somma, dal prodotto, dal rapporto o dall’elevamento a potenza di altre funzioni, in questo caso, per risolvere i limiti ci aiutano le operazioni. Dalle operazioni con i limiti emergono alcuni casi particolari, che si chiamano forme indeterminate o di indecisione. Le forme indeterminate sono appunto dei casi in cui non possiamo sapere con certezza il valore del limite se non dopo aver cambiato leggermente l’espressione della funzione per poi ricalcolare il limite.

Prerequisiti per Calcolo dei limiti

I prerequisiti per capire a cosa seI prerequisiti per imparare a riconoscere una funzione continua, calcolare i limiti e trovare le forme indeterminate sono:

Definizione di funzione

Introduzione ai limiti

Funzione continua: definizione

Una funzione $f(x)$ è continua in un punto $x_0$ se esiste il limite per $x$ che tende $a x_0$ ed il valore del limite uguale a quello che la funzione assume in quel punto:
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)
$$
Se questa proprietả vale per tutti i punti di un intervallo $[a, b]$ allora la funzione è continua in tutto lintervallo.

Operazioni con i limiti

Possiamo fare la somma dei limiti o i limiti della somma di più funzioni che tendono ad uno stesso valore $x_0$. Oltre la somma possiamo fare anche il prodotto, l’elevamento a potenza, il reciproco o il rapporto. Tutte queste operazioni con i limiti sono facili da svolgere quando non si combinano funzioni “strane”. Ci sono casi in cui fare un’operazione con i limiti ci porta ad un risultato che non sappiamo risolvere, questi casi si chiamano forme indeterminate.

Le operazioni con i limiti sono:

1. limite della somma di funzioni: il limite della somma algebrica di due funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti. Se i limiti delle due funzioni sono infiniti con segno diverso, ci troviamo davanti alla forma di indecisione $+\infty-\infty$;
2. limite del prodotto di funzioni: il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni. L’unico caso in cui la proprietà non è valida è quello in cui un limite sia infinito e laltro nullo, cioè $0 \cdot \infty$;
3. limite di funzioni elevate a potenza ad altre funzioni: il limite di una funzione che ha come esponente un’altra funzione è uguale al limite della funzione “base” elevato al limite della funzione “esponente”. I casi di indeterminazione, in questo caso sono, zero elevato infinito $0^{\infty}$, infinito elevato zero $\infty^0$, o uno elevato infinito $1^{\infty}$;
4. limite del rapporto tra funzioni: il limite de rapporto fra due funzioni è uguale al rapporto fra i limiti. Se entrambe le funzioni tendono a infinito o entrambe tendono a zero troviamo rispettivamente la forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty} \circ \frac{0}{0}$;
5. limite del reciproco di una funzione: il limite del reciproco di una funzione è uguale al reciproco del limite quando questo non è nullo. Quando una funzione tende $a$ infinito, il limite del suo reciproco sarà zero, se invece tende a zero il limite del suo reciproco sarà infinito.

Forme indeterminate

Dire che un limite è una forma indeterminata significa che il limite non si può calcolare o non esiste? No! Le forme indeterminate dei imiti sono dei casi particolari in cui per calcolare il limite dobbiamo prima riscrivere la funzione in modo diverso per poi calcolarlo nuovamente. Scrivere la funzione in modo diverso ci permette di semplificare o separare la funzione in modo tale che si elimini l’indeterminazione!

Le forme indeterminate sono 7 :
$$
\infty-\infty, 0 \cdot \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{9}{0}, \infty^0, 0^{\infty} \text { e } 1^{\infty}
$$
Non c’è un modo unico da rispettare sempre per risolvere e superare una forma indeterminata, bisogna analizzare gli esempi e studiare separatamente tutti i casi.

Per esempio:

• per risolvere la forma indeterminata più infinito meno infinito $(\infty-\infty)$ può essere utile razionalizzare nel caso di una funzione razionale:
• per risolvere la forma infinito su infinito $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$, nel caso di una funzione polinomiale fratta, si può raccogliere il termine di grado massimo e semplificare…