Gli errori sono una parte fondamentale della fisica e possono essere commessi per vari motivi: errori di misura o errori casuali, ma anche errori eliminabili che quindi possono essere evitati. Le grandezze vengono misurate non una, ma più volte e possono dunque avere delle variazione. È necessario calcolare l’errore assoluto ovvero la stima dell’incertezza della misura.
Appunti
Gli errori fanno parte della fisica, ed è impossibile fare una misura esatta: ci sarà sempre un’incertezza più o meno grande.
Quando si misura una grandezza più volte si ottengono valori diversi, perciò si assume che la misura più esatta possibile sia la media aritmetica tra tutte le misure. A essa è necessario sommare o sottrarre il valore dell’incertezza della misura, ovvero l’errore assoluto.
Questo vale quando siamo all’interno della stessa grandezza, infatti è legato all’unità di misura. Per ottenere un numero puro è necessario ricavare l’errore relativo.
Quando un numero viene approssimato significa che viene trasformato in un altro numero con meno cifre significative. In un dato con 3 cifre, ad esempio, le prime due sono certe mentre l’ultima è incerta.
Prerequisiti per imparare a evitare gli errori di misura
media aritmetica
frazioni e percentuali
La sperimentazione in fisica
Cosa significa “fare una misura”? Cosa voglio osservare? Come faccio ad osservarlo? Cosa porto con me per osservarlo?
Fare una misura significa raccogliere dati su un fenomeno fisico attraverso l’osservazione di un sistema e la sua misurazione con uno o più strumenti. Fare una misura implica tre passaggi diversi:
- la scelta del fenomeno da osservare
- la scelta del sistema in cui osservarlo
- la scelta dello o degli strumenti di misurazione.
Scelta del fenomeno: si risponde alla domanda “Cosa voglio osservare?”, partendo dalla realtà naturale.
E’ importante, per lo sperimentatore ancora inesperto, selezionare un fenomeno di osservazione singolo (es. caduta di un pianoforte da un terrazzo, moto di un giavellotto ai Mondiali di Atletica, ebollizione dell’acqua per preparare la pasta) e semplificare fenomeni complessi scomponendoli in fenomeni più semplici.
Esempio.
Se si vuole studiare la pioggia, è necessario distinguere il fenomeno della condensazione (passaggio da gas a liquido delle molecole d’acqua), da quello della caduta di un grave (accelerazione gravitazionale delle gocce d’acqua), da quello dinamico connesso alla velocità del vento (spostamento nello spazio delle gocce d’acqua).
Scelta del sistema: se si sceglie di osservare la caduta di un pianoforte da un terrazzo, la velocità di un atleta, la traiettoria di un giavellotto, l’orbita di un pianeta, ci si deve porre nelle condizioni ottimali per osservare il fenomeno: “Come faccio ad osservarlo?” Questo significa chiedersi quali siano le grandezze che si deve misurare (una velocità? Una temperatura? Un tempo? Una lunghezza? Una massa?…). Si deve a questo punto scegliere il sistema adatto a osservare e a misurare le grandezze desiderate, oppure lo si costruisce.
Esempio.
Mi metto di fronte al terrazzo dal quale sta cadendo il pianoforte; viaggio comodamente fuori dall’orbita terrestre e osservo la Terra che ruota attorno al Sole; misuro la temperatura e l’umidità dell’aria in una giornata in cui promette di piovere; …
Scelta della strumentazione: Scelto il fenomeno e scelto il sistema e le conseguenti grandezze da misurare, occorre selezionare gli strumenti adatti per la misurazione. “Cosa porto con me per osservare il fenomeno scelto?” Grandezze semplici, quelle basilari del SI, necessitano di strumenti semplici; grandezze complesse necessitano di strumenti più complessi.
Esempio.
Un cronometro per il pianoforte che cade, almeno un telescopio per l’orbita terrestre, un termometro e un igrometro nella giornata di pioggia; …Fai una segnalazione Audio Player
Errare è umano: Space Shuttle Challenger
Gli errori sono una parte fondamentale della fisica, infatti ogni misura effettuata dall’uomo presenta piccoli se non grandi errori, che a volte possono essere fatali!
Il 28 gennaio del 1986, infatti, fu lanciato uno “Space Shuttle” dalla NASA che smise di funzionare 73s dopo il lancio, uccidendo i 7 astronauti all’interno. Questo perché un piccolo errore non era stato preso in considerazione: il fatto che le basse temperature di quel gelido giorno potessero condizionare la stabilità delle guarnizioni. Gli ingegneri operanti si accorsero del problema e lo comunicarono alla NASA. Quest’ultima, però, decise di non tenere in considerazione un errore che è costato la vita a 7 astronauti.
Tipi di errore
Spesso si ha l’impressione che lo sperimentatore, uomo/donna di scienza preciso e infallibile, sia in grado di cogliere immediatamente e senza errore l’essenza di un fenomeno naturale: anche nelle circostanze più favorevoli, è necessario sempre tenere conto dell’incertezza della misura e rispondere alle domande: “Dove posso aver sbagliato? E perché?”
L’incertezza, o errore sperimentale, è l’inevitabile errore che si introduce in una misura per le caratteristiche fisiologiche dello sperimentatore e delle caratteristiche meccaniche dello strumento di misura.
All’occhio e alle dita sono associate incertezze intrinseche nei tempi di reazione degli esseri umani: 0.01 s (1 centesimo di secondo) rappresenta un ragionevole tempo di incertezza per l’occhio e la mano.
Ogni strumento di misura ha, inoltre, una sua incertezza intrinseca: i cronometri più comuni hanno incertezze comprese tra gli 0.01 s e gli 0.05 s, le bilance hanno incertezze intorno al 0.01 g, i termometri nell’ordine del 0.01 °C.
Nella misurazione di un fenomeno fisico devono essere sempre indicate le incertezze: le incertezze sono quelle grandezze che permettono di sfuggire a una multa per eccesso di velocità (se l’autovelox ha un margine di errore di 5 o 10 km/h), permettono all’ingegnere di salvaguardare il proprio lavoro e di costruire la propria diga per una portata d’acqua maggiore di quanto dicano i dati del fiume e della montagna di riferimento, di dare un margine di probabilità alle previsioni del tempo e, in generale, di “mettersi dalla parte sicura” quando si progettano opere ad uso umano.
Le incertezze aiutano nella sicurezza: le opere pubbliche devono essere costruite tenendo conto del margine d’errore, e agendo per garantire condizioni di sicurezza “nella peggiore delle ipotesi”.
Come faccio, allora, a essere sicuro delle mie misure incerte? E come faccio a tenere conto dell’incertezza?
Il numero delle misure da effettuare è certamente maggiore di uno. Idealmente, a fenomeni complessi dovrebbe corrispondere un numero di misure significativamente elevato, o tale da garantire una statistica solida. Per “statistica solida” si intende un numero di misure sufficientemente alto da minimizzare sia errori nella misurazione, sia l’incertezza intrinseca nella misurazione e nello sperimentatore.
L’incertezza deve essere misurata per ciascuna delle grandezze che occorrono nello studio del fenomeno: nell’esperimento della caduta di un grave occorre tenere conto sia dell’incertezza del cronometro, sia dell’incertezza dello sperimentatore.
L’errore assoluto
Quando vengono effettuate molte misure con lo stesso metodo e strumento si ottengono $n$ valori ( $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ) di una certa grandezza fisica, in generale diversi fra loro.
Poiché gli errori casuali influenzano il valore di una misura con uguale probabilità per eccesso o per difetto, la misura più attendibile della grandezza è la media aritmetica dei valori trovati. $M=$ $\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$.
Assunta come valore della grandezza la media dei valori ottenuti, rimane il problema di valutare l’errore di misura.
In una serie di misure si può assumere come errore sul valore della grandezza la semidifferenza fra il valore massimo $x_{\max }$ e il valore minimo $x_{\min }$ ottenuti: Errore $=\frac{x_{\max }-x_{\min }}{2}$.
Questa quantità è legata all’unità di misura, poiché rappresenta un valore da aggiungere o togliere alla misura approssimata. Per questo motivo si chiama errore assoluto.
Facciamo un esempio.
Le misure del tempo che una pallina impiega per cadere a terra da una certa altezza sono: $1,33 s ; 1,40 s$; $1,11 s ; 1,14 s$.
La media aritmetica è $1,25 s$. L’errore assoluto quindi sarà $\frac{1,4 s-1,11 s}{2}=0,15 s$
Il risultato della misurazione si dovrebbe scrivere: $(1,25 \pm 0,15) s$.
Quando si sommano o si sottraggono due misure dirette appartenenti alla stessa grandezza e che contengono un errore assoluto, è necessario sommare i valori assoluti delle misure e aggiungerli alla somma (o differenza) dei due dati di partenza.
Esempio: $(3,6 \pm 0,5) m-(4,1 \pm 0,3) m=$ $(7,7 \pm 0,8) m$
Questo ragionamento non può essere applicato con le moltiplicazioni o divisioni.
L’errore relativo
Per ora abbiamo parlato dell’errore assoluto $\left(E_a\right)$, cioè un errore che è valido solo quando si resta confinati entro una grandezza, dato che deve essere accompagnato da un unità di misura.
Per far diventare l’errore assoluto un numero puro è necessario dividerlo per la media. Così si trova l’errore relativo $\left(E_r\right)$.
$$
E_r=\frac{E a}{X m}
$$
Per tornare all’esempio precedente $E_r=\frac{E a}{X_m}=\frac{0,15}{1,24}=0,1209$
Se l’errore relativo viene moltiplicato per 100 si trova l’errore percentuale ( $\left.E_p\right) \cdot 0,1209 \cdot 100=12,09 \%$ $L ^{\prime} E_p$ indica che percentuale della media potrebbe essere errata.
L’errore nelle misure indirette
Quando si devono moltiplicare o dividere due grandezze, per trasformarle in una misura indiretta, cioè che non è stata misurata ma solo calcolata attraverso formule, è necessario sommare gli errori relativi delle due grandezze di partenza.
Questo perché è impossibile confrontare due errori assoluti di grandezze diverse, dato che contengono l’unità di misura.
Dopo aver sommato gli errori relativi è possibile trasformare il numero ottenuto dalla somma degli errori relativi in un errore assoluto.
Per esempio: $\frac{(3,5 \pm 0,1) m}{(6 \pm 0,5) s}$
$E_{r 1}=0,028$
$E_{r 2}=0,083$
$E_{r 1}+E_{r 2}=0,111 $
$0,111 \cdot(3,5: 6) \frac{m}{s}=0,06 \frac{m}{s} $
$\frac{(3,5 \pm 0,1) m}{(6 \pm 0,5) s}=(0,58 \pm 0,06) \frac{m}{s}$
Cifre significative
Le cifre significative indicano quali cifre di una misura sono certe e quali incerte. In un dato con 4 cifre (es. $12,56 m$ ) le prime 3 sono cifre certe e l’ultima è incerta.
Quindi approssimare significa trasformare un numero in un altro con meno cifre significative: si può arrotondare per difetto se l’ultima cifra è minore di $5(0,1,2,3,4)$, per eccesso se essa è maggiore o uguale a 5 ( $5,6,7,8,9)$.
Se in un dato sono presenti degli zeri, essi sono cifre significative solo se sono posizionati alla fine del numero o al centro.
Quando si svolge un calcolo tra misure in fisica è necessario che il risultato abbia le stesse cifre significative dei termini.