Quali sono i divisori di un numero? Sono tutti quei numeri tali per cui otteniamo una divisione esatta, cioè senza resto. Impara come individuare i divisori di ciascun numero.
Appunti
Studiando le divisioni, abbiamo capito che è possibile imbattersi in divisioni esatte e divisioni con il resto.
Quando risolviamo una divisione esatta, abbiamo trovato un divisore di un numero. Un numero è divisore di un altro numero se quest’ultimo è un suo multiplo.
Esistono delle regole particolari, i criteri di divisibilità, che ci permettono di individuare quali sono i divisori di un numero naturale.
Prerequisiti per imparare divisori e criteri di divisibilità
Prerequisiti per imparare divisori e criteri di divisibilità:
- multipli
- divisione.
Divisori e divisibilità
Un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale se il quoziente tra questi due numeri è ancora un numero naturale, quindi la divisione ha resto uguale a 0 .
Esempio: 12 è divisibile per 3 perché $12: 3=4$, con resto 0 . Ma è divisibile anche per 4 ! Infatti $12: 4=3$, con resto 0 .
I numeri 3 e 4 sono divisori del numero 12 . Infatti 12 è proprio uguale a $3 \cdot 4$ ! Ma questi due numeri non sono gli unici divisori del 12 :
$$
\begin{array}{l}
12: 1=12 \
12: 2=6 \
12: 3=4 \
12: 4=3 \
12: 6=2 \
12: 12=1
\end{array}
$$
Quindi i divisori di 12 sono $1,2,3,4,6$ e lo stesso 12 . Dividendo il 12 per tutti questi numeri troviamo sempre un risultato esatto, senza resto. Possiamo rigirare la frittata e dire che il 12 è multiplo di tutti questi numeri, i suoi divisori.
Come trovare il divisore di un numero?
Come facciamo a trovare i divisori di un numero? Ci sono tanti piccoli trucchi. Vediamone qualcuno!
I divisori di un numero sono numeri minori della metà di quel numero.
Esempio: i divisori di 60 vanno cercati tra i numeri da 1 a 30.
Tra i divisori di un numero ci sono il numero stesso e il numero 1, perché tutti i numeri sono divisibili per loro stessi e per 1 .
Esempio: facendo la divisione $60: 1=60$ troviamo che 1 è divisore, perché la divisione è esatta.
Esempio: 60 è il divisore di 60 .
I divisori di un numero si possono ricercare tra i numeri minori della radice quadrata di quel numero.
Esempio: i divisori di 60 sono da ricercare tra i numeri minori di $\sqrt{60}$. Scoprirai la radice quadrata il prossimo anno! 😉
Non ci resta che provare a calcolare le divisioni per trovare tutti gli altri divisori.
Quindi, quali sono tutti i divisori di 60 ?
Criteri di divisibilità
Come facciamo a capire se un numero è divisibile per un altro numero? Dobbiamo procedere per tentativi? Certo che no! Esistono i criteri di divisibilità!
- I criteri di divisibilità permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro numero senza bisogno di fare la divisione, solo osservando dividendo e divisore. Vediamo i principali criteri:
- tutti i numeri sono divisibili per 1 e per loro stessi;
- un numero è divisibile per 2 se l’ultima cifra è pari $(0,2,4,6$ o 8$)$;
- un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 ;
- un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0 ;
- un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono 00 oppure formano un multiplo di 4 ;
- un numero è divisibile per 3 se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di 3 ;
- un numero è divisibile per 9 se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di 9 ;
- un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è 0 o un multiplo di 11 .
Ti ricordi la canzone dei 44 gatti? In fila per 6 col resto di 2 . Infatti 44 non è divisibile per 6 ! 😉
Prima regola della divisibilità
Oltre ai criteri di divisibilità possiamo servirci di alcuni trucchetti per trovare i divisori di un numero, le due regole della divisibilità.
Prima regola della divisibilità.
Se un numero $a$ è divisore di un numero $b$ e questo è a sua volta divisore di un altro numero $c$, allora $a$ è un divisore di $c$.
Esempio: 3 è un divisore di 12 e 12 è un divisore di 24 . Allora anche 3 è divisore di 24 , infatti $24=3 \cdot 8$.
Questo significa che la divisibilità è transitiva: se $a$ è divisibile per $b$ e $b$ è divisibile per $c$, allora anche $a$ è divisibile $\operatorname{per} c$.
Seconda regola della divisibiltà
Seconda regola della divisibiltà
Se $a$ è un divisore di $b$ e di $c$, allora è divisore anche della loro somma $b+c$ e anche della loro differenza $b-c$.
Esempio: 3 è un divisore di 21 , ma è anche divisore di 15 . Allora 3 è divisore della loro somma $21+15=36$ (infatti $36=3 \cdot 12$ ) e della loro differenza $21-15=6$ (infatti $6=3 \cdot 2$ ).