Ripassa per l’esame di Matematica dell’Università cos’è una funzione, qual è la definizione di funzione, cosa sono le funzioni numeriche e le funzioni definite a tratti
Appunti
Inizia qui il percorso di analisi matematica, in particolare sullo studio di funzione.
È sicuramente un argomento ostico per molti studenti, ma in realtà basta avere un po’ di calma. Infatti seguendo le nostre lezioni, arriverai prontissimo a fare uno studio di funzione completo senza errori!
Prerequisiti per imparare cos’è una funzione
I prerequisiti per imparare cos’è una funzione sono:
Concetto di insieme e rappresentazione
Prodotto cartesiano e rappresentazioni
Piano cartesiano
Cos’è una funzione
Ma cos’è una funzione? Una funzione è una relazione che associa a OGNI elemento di un insieme $A$ UNO E UN SOLO elemento dell’insieme $B$
Se abbiamo il diagramma a frecce della relazione, per capire se abbiamo una funzione basta guardare l’insieme $A$ di partenza: da ogni elemento deve partire una sola freccia.
Una funzione ha espressione $f: A \rightarrow B$ dove $A$ è l’insieme di partenza o dominio della funzione e $B$ è l’insieme di arrivo.
Se $x \in A$ e $y \in B$ e la $x$ è in relazione con $y$ tramite la funzione diciamo che:
- $y$ è l’immagine di $x$ tramite $f$
- $x$ è la controimmagine $y$ tramite $f$
Il codominio è l’insieme delle immagini tramite la funzione $f$ cioè tutti gli elementi che “vengono raggiunti da almeno una freccia”. In generale, il codominio è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo!
Funzione numerica
Una funzione è numerica se l’insieme di partenza e quello di arrivo sono insiemi numerici, come $N , Z , Q , R$ L’espressione comune di una funzione numerica è $y=f(x)$ :
- $x$ è la variabile indipendente
- $y$ è la variabile dipendente, immagine di $x$ tramite la funzione $f$
Per trovare il dominio della funzione è sufficiente trovare le C.E. dell’espressione della funzione. Per trovare il codominio, dobbiamo prima esplicitare la $x$, cioè scrivere l’espressione nella forma $x=\ldots$ e poi trovare le C.E. sulle $y$
Funzioni definite a tratti
Alcune funzioni cambiano espressione a seconda dei valori di $x$. Queste funzioni si chiamano funzioni definite a tratti.
Il classico esempio di funzione definita a tratti è la funzione valore assoluto. La sua espressione è
$y=|x|=\left\{\begin{array}{ll}x & \text { se } x \geq 0 \\ -x & \text { se } x<0\end{array}\right.$
cioè se $x \geq 0$ l’espressione è $y=x$ mentre se $x<0$ diventa $y=-x$