Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà. Scopri i luoghi geometrici di circonferenza e cerchio e impara a riconoscere gli angoli al centro e alla circonferenza e le parti della circonferenza e del cerchio. Studia la dimostrazione di esistenza e unicità del teorema: per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Appunti
Area del cerchio, misura della circonferenza (e quindi perimetro del cerchio), area del settore circolare e misura del segmento circolare? Sono tutti concetti e formule che puoi studiare con noi in questa lezione. E troverai anche la dimostrazione dell’esistenza e unicità di una circonferenza per tre punti, la definizione di angoli al centro ed alla circonferenza, e di tutti gli elementi principali del cerchio, come la corda, il diametro o il raggio! Siamo pronti a vedere tutto su circonferenza e cerchio!
In questa video lezione imparerai
- Luoghi geometrici, circonferenza e cerchio: definizioni degli elementi principali di circonferenza e cerchio, area del cerchio e misura della circonferenza
- Circonferenza per tre punti non allineati: teorema di esistenza e unicità della circonferenza per tre punti con dimostrazione
- Angoli al centro e alla circonferenza: definizioni
- Parti della circonferenza e del cerchio: cosa è un arco, la semicirconferenza, il settore circolare ed il segmento circolare
Prerequisiti per imparare cosa sono circonferenza e cerchio
I prerequisiti per imparare cosa sono circonferenza e cerchio sono:
enti primitivi
angoli.
Luoghi geometrici: circonferenza e cerchio
Vediamo alcune definizioni importanti:
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà.
La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro.
Possiamo calcolare la lunghezza di una circonferenza di raggio $r$ usando questa formula: $C=2 \pi r$ dove $\pi=3,1415…$
I raggi sono tutti quei segmenti che hanno per estremi il centro ed un punto della circonferenza.
La corda è un segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza.
Il diametro è una corda che passa per il centro della circonferenza.
Il cerchio è l’insieme dei punti che stanno dentro ad una circonferenza, cioè la cui distanza dal centro della circonferenza è minore o uguale al raggio.
Possiamo calcolare l’area delimitata dai punti di una circonferenza usando questa formula: $A=\pi r^2$.
Circonferenza per tre punti non allineati
Teorema: Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Per dimostrare il teorema dobbiamo congiungere i tre punti e considerare gli assi dei due segmenti che si vengono a formare. A partire da questa costruzione dobbiamo dimostrare prima l’esistenza della circonferenza e poi l’unicità. La circonferenza esiste perché l’intersezione dei due assi, per le proprietà dell’asse di un segmento e per la proprietà transitiva dell’uguaglianza è il centro della circonferenza. Invece per l’unicità basta dimostrare che l’intersezione dei due assi è unica e quindi anche il centro della circonferenza.
Angoli al centro e angoli alla circonferenza
L’angolo al centro è un angolo che ha come vertice il centro della circonferenza e come lati i due raggi.
L’angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha come vertice un punto della circonferenza e come lati due corde, oppure una corda e una retta tangente alla circonferenza nel vertice dell’angolo.
Parti della circonferenza e del cerchio
L’arco è una parte della circonferenza compresa tra due punti. Viene indicato scrivendo il nome dei due estremi sotto un archetto oppure con lll.
La semicirconferenza è un particolare arco che ha come estremi quelli di un diametro. Possiamo calcolare la sua lunghezza con $\pi r$, ovvero la metà della lunghezza della circonferenza.
Anche la circonferenza è un arco, e $C=2 \pi r =$ (misura angolo al centro in radianti)•raggio.
Allora la lunghezza di un arco è il prodotto tra $\theta $, la misura in radianti dell’angolo al centro che insiste sull’arco e il raggio della circonferenza: $l= \theta r$ .
Il semicerchio è l’insieme dei punti che stanno dentro ad una semicirconferenza. Possiamo calcolare la sua area come $\frac{\pi r^2}{2}$, cioè la metà dell’area del cerchio.
Il settore circolare è la parte di cerchio compresa tra due raggi ed un arco. Il cerchio e il semicerchio sono particolari settori circolari.
Quindi, partendo dalla formula per trovare l’area del cerchio si trova quella dell’area del settore circolare: $A_{settcirc}=\frac{\theta}{2}r^2$ ampiezza dell’angolo al centro in radianti.
Il segmento circolare è la parte di cerchio delimitata da uno o due archi di circonferenza e da una o due corde parallele:
- a una base se compreso tra una corda ed un arco;
- a due basi se compreso tra due corde parallele e due archi, che hanno come estremi gli estremi delle due corde.
Lo stesso vale “al contrario”: se gli archi sono uguali allora sono uguali gli angoli al centro e i settori circolari corrispondenti e lo stesso vale se i settori circolari sono uguali.