Impara ad utilizzare gli operatori logici binari come la congiunzione, e la disgiunzione. Impara a distinguere la disgiunzione inclusiva dalla disgiunzione esclusiva!
Appunti
Abbiamo visto che la negazione รจ un operatore logico unario in quanto agisce su una singola proposizione.
Quando un operatore logico lega almeno due proposizioni si dice operatore logicobinario. Gli operatori binari sono:
Congiunzione: รจ l’unione di due frasi tramite la particella ‘e’.
Disgiunzione inclusiva: รจ l’unione di due frasi tramite la particella ‘o’.
Disgiunzione esclusiva: รจ l’unione di due frasi tramite le particelle ‘oโฆo’.
Prerequisiti per imparare congiunzione e disgiunzione
I prerequisiti per imparare congiunzione e disgiunzione sono:
proposizioni logiche
operazioni con gli insiemi.
La congiunzione
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- $p:$ “Oggi รจ domenica”;
- $q$ : Oggi c’รจ il sole”.
Le due proposizioni possono essere composte in una proposizione composta mediante la congiunzione e:
pe q: “Oggi รจ domenica e oggi c’รจ il sole”.
ร una proposizione composta ottenuta mediante l’operatore binario congiunzione $\mathrm{x}$ ex, rappresentato dal simbolo $\mathrm{A}$.
Altri esempi sono: - “La lampadina rossa รจ accesa e la lampadina blu รจ accesa”.
- “Il mio gelato รจ alla fragola e al pistacchio”.
- “Ha i capelli corti e porta gli occhiali”.
- “Alice guarda i gatti ed i gatti guardano il sole”.
Per stabilire se le frasi composte sono vere $(V)$ oppure false $(F)$ usiamo le tavole di veritร . In particolare, $p$ $q$ รจ vera solo quando $p$ e $q$ sono entrambe vere.
La tavola di veritแบฃ per la congiunzione รจ sempre valida per qualsiasi proposizione logica.
Allora se consideriamo le due proposizioni:
- $A$ : “il re di cuori รจ una carta di cuori”;
- $B$ : “il re di cuori รจ un asso”.
La proposizione $\boldsymbol{A} \wedge \boldsymbol{B}$ : “il re di cuori รจ una carta di cuori ed รจ un asso” รจ una proposizione falsa.
Disgiunzione inclusiva
Un altro operatore binario รจ la disgiunzione inclusiva:
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- $p$: “La lampadina rossa รจ accesa”;
- $q$: “La lampadina blu รจ accesa”.
La proposizione composta mediante la disgiunzione inclusiva si indica con $p \vee q$ e si legge: โLa lampadina rossa รจ accesa o la lampadina blu รจ accesaโโ.
Ed indica che entrambe le lampadine possono essere accese o una delle due รจ accesa e lโaltra spenta.
Dunque, $p \vee q$ รจ falsa quando entrambe $p$ e $q$ sono false. Ed รจ vera se almeno una delle due รจ vera.
Altri esempi di disgiunzione inclusiva, sono:
- Il mio gelato รจ alla fragola o al pistacchio
- Ho una carta rossa o ho una carta di cuori
- Porta la maglietta blu oppure i pantaloni azzurri.
Disgiunzione esclusiva
La disgiunzione esclusiva รจ un operatore logico binario che esprime un’alternativa.
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- $p$ : “Questa carta รจ un asso”;
- $q$ : “Questa carta รจ un due”.
In questo caso $p$ e $q$ si escludono a vicenda, pertanto la proposizione composta mediante disgiunzione esclusiva “Questa carta o รจ un asso o รจ un due” รจ vera solo quando รจ vera una sola delle due, falsa in tutti gli altri casi.
Tale tipo di operatore ” $0 . .0$. si chiama disgiunzione esclusiva perchรฉ una proposizione esclude l’altra.
Si indica con $P \dot{V} Q$
Ad esempio, consideriamo la proposizione logica composta:
- $p \dot{V} q$ : “Il mio gelato o รจ alla fragola o รจ al pistacchio.”
Essa รจ costituita dalle due proposizioni semplici: - $p$ *il mio gelato รจ alla fragola”;
- $q$ : “il mio gelato รจ al pistacchio”.
$p$ รจ vera e $q$ รจ vera, allora $p \dot{V} q$ รจ falsa perchรฉ $p$ e $q$ rappresentano due alternative esclusive.
Se $p$ รจ vera e $q$ รจ falsa, allora $p \dot{V} q$ รจ vera e lo stesso accade se $p$ รจ falsa e $q$ รจ vera. Se il mio gelato non รจ nรฉ alla fragola, nรฉ al pistacchio, $p \dot{V} q$ รจ falsa.