Esistono diversi modi per rappresentare una funzione. È una particolare relazione tra insiemi: possiamo utilizzare la rappresentazione insiemistica, oppure disegnare il grafico sul piano cartesiano. Impara a trovare il valore della funzione in ciascun punto! Fai attenzione! Non tutte le relazioni sono funzioni!
Appunti
Abbiamo capito che una funzione è scritta sottoforma di equazione. Si tratta di una relazione tra due insiemi, quindi scritta come equazione in due variabili. Ma come possiamo rappresentarla?
Esistono due modi per rappresentare una funzione:
- la rappresentazione insiemistica: disegniamo i due insiemi che sono in relazione, rappresentiamo la funzione con le frecce;
- grafico sul piano cartesiano: troviamo i valori corrispondenti per ciascuna variabile e li rappresentiamo come punti sul piano cartesiano.
Non tutte le relazioni sono funzioni. Impara come riconoscerle! Basta ricordare la definizione: non possono esistere due elementi in output funzione dello stesso elemento in input.
Prerequisiti per imparare come rappresentare una funzione
I prerequisiti per imparare come rappresentare una funzione sono:
- insiemi e rappresentazioni
- equazioni
- piano cartesiano
- proporzionalità diretta e inversa.
Come scrivere una funzione
Abbiamo dato la definizione matematica di funzione, ma quali sono le funzioni che possiamo trovarci davanti?
Qualche esempio lo abbiamo già visto. Che cosa sono le equazioni del tipo $y=f(x)$ ?
Le funzioni sono espresse da una formula che contiene le due variabili $x$ e $y$, una legge matematica che lega queste due variabili.
Esempio: $y=x+1$ è una funzione che associa ad un numero $x$ il suo successivo $x+1$. Consideriamo come insieme di partenza $X$ l’insieme dei numeri naturali $N$. Ovviamente l’insieme di arrivo $Y$ è ancora uguale all’insieme dei numeri naturali $N$. Costruiamo la tabella in cui visualizzare i valori che la funzione mette in relazione:
Esempio: Possiamo rappresentare così la funzione che associa alla misura del lato di un quadrato la sua area: $y=$ $x^2$. Rappresentiamo ivalori che assume la funzione con una tabella:
In verità abbiamo già visto delle funzioni. Ti ricordi le grandezze direttamente e inversamente proporzionali? Le abbiamo rappresentate attraverso delle funzioni (retta e iperbole), con variabile dipendente e variabile indipendente e disegnando il grafico sul piano cartesiano.
Diversi modi per rappresentare una funzione
Abbiamo detto che una funzione è una particolare relazione tra due insiemi. Il primo modo per rappresentarla è proprio quello insiemistico.
Una funzione tra due insiemi può essere rappresentata con delle frecce che collegano ciascun elemento dell’insieme di partenza con un unico elemento dell’insieme di arrivo.
Un altro modo per rappresentare una funzione è disegnando il suo grafico sul piano cartesiano. La funzione mette in relazione un elemento $x \in X$ con un elemento $y \in Y$. Gli elementi messi così in relazione formano delle coppie $(x ; y)$. Ciascuna di queste coppie indica le coordinate di un punto sul piano cartesiano. Quindi possiamo rappresentare il grafico di una funzione unendo tutti i punti sul piano cartesiano: a partire dalla legge matematica che definisce la funzione, riusciamo a ricavare tutte le coordinate. Stabiliamo una $x$ e troviamo il valore della variabile dipendente $y$. Individuati tutti i punti, ecco il grafico della funzione!
Esempio: nelle due immagini abbiamo rappresentato nei due modi diversi la stessa funzione, definita da $N$ in $N$ :
$$
f(x)=4 x+3
$$
Come riconoscere una funzione
Non tutte le relazioni tra due insiemi sono delle funzioni. Bisogna imparare a riconoscerle! Il passaggio più importante per riconoscere una funzione è controllare che tutti gli elementi nell’insieme di partenza abbiano un unico corrispondente nell’insieme di arrivo. Quindi fai attenzione che non ci sia un elemento $x \in X$ tale che $f(x)=y_1$ e $f(x)=y_2 \operatorname{con} y_1 \neq y_2$.
Nella rappresentazione insiemistica riconosciamo che la relazione rappresentata è una funzione se da ciascun elemento dell’insieme di partenza $X$ “esce un’unica freccia” che lo collega ad un unico elemento dell’insieme $Y$.
Nella rappresentazione sul piano cartesiano, invece, possiamo utilizzare il metodo delle linee verticali: immaginiamo di tracciare delle linee verticali (cioè parallele all’asse $y$ ) sul piano cartesiano. Se anche solo una di queste linee interseca il grafico in due punti, allora quello che abbiamo davanti non è il grafico di una funzione.