Impara la definizione di un angolo alla circonferenza (angolo convesso che ha come vertice un punto sulla circonferenza e lati due rette secanti la circonferenza, o una secante ed una tangente) e di un angolo al centro (angolo che ha come vertice il centro della circonferenza e come lati due dei suoi raggi, che delimitano un arco di circonferenza). Impara le tre proprietà degli angoli al centro e i due corollari sugli angoli alla circonferenza.
Appunti
Cosa è l’angolo al centro e l’angolo alla circonferenza? Quale è la proprietà che lega angolo al centro ed angolo alla circonferenza? Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. Vuoi sapere come si dimostra questo teorema e quante possibilità ci sono di combinare angolo al centro e angolo alla circonferenza? Vuoi conoscere i corollari sugli angoli alla circonferenza? Sei nella lezione giusta!
In questa lezione imparerai:
- Definizione di angolo alla circonferenza e angolo al centro: cosa sono e quali sono le loro particolarità
- Proprietà degli angoli al centro, primo caso: teorema e dimostrazione del caso in cui un lato dell’angolo alla circonferenza coincide con un diametro
- Proprietà degli angoli al centro, secondo caso: teorema e dimostrazione del caso in cui il centro della circonferenza è interno all’angolo alla circonferenza
- Proprietà degli angoli al centro, terzo caso: teorema e dimostrazione del caso in cui il centro è esterno all’angolo alla circonferenza considerato
- Due corollari sugli angoli alla circonferenza
Prerequisiti per imparare gli angoli alla circonferenza e gli angoli al centro
I prerequisiti per imparare gli angoli alla circonferenza e gli angoli al centro sono:
angoli
circonferenza.
Proprietà degli angoli al centro e angoli alla circonferenza
Adesso parliamo degli angoli nelle circonferenze e delle loro proprietà.
Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha
- come vertice un punto sulla circonferenza;
- come lati due rette secanti la circonferenza, o una secante ed una tangente.
I lati di questo angolo delimitano un arco di circonferenza, quindi l’angolo insiste sull’arco.
Un angolo al centro è un angolo che ha
- come vertice il centro della circonferenza e;
- come lati due dei suoi raggi, che delimitano un arco di circonferenza.
L’angolo alla circonferenza è corrispondente ad un angolo al centro quando insiste sullo stesso arco.
Proprietà degli angoli al centro
Teorema: Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Il primo caso è quello in cui un lato dell’angolo alla circonferenza coincide con un diametro. Possiamo utilizzare le proprietà del raggio e costruire un triangolo isoscele, applichiamo poi il teorema del triangolo isoscele sugli angoli alla base e quello degli angoli esterni di un triangolo, concludendo subito la dimostrazione.
Teorema: Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Il secondo caso è quello in cui il centro della circonferenza è interno all’angolo alla circonferenza.
Per dimostrarlo consideriamo il diametro passante per il vertice dell’angolo alla circonferenza che sarà così diviso in due angoli (la cui somma danno l’angolo iniziale), troviamo i due rispettivi angoli al centro e si usa la dimostrazione del caso 1 per concludere.
Teorema: Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Il terzo caso è quello in cui il centro è esterno all’angolo alla circonferenza considerato.
Per la dimostrazione consideriamo il diametro passante per il vertice dell’angolo alla circonferenza considerato, troviamo così due angoli (la cui differenza dà l’angolo iniziale), troviamo i due rispettivi angoli al centro e concludiamo sfruttando i casi precedenti.
Corollari sugli angoli alla circonferenza
Corollario 1: Due o più angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti.
Infatti, sono pari alla metà dello stesso angolo al centro e metà di angoli congruenti sono congruenti.
Corollario 2: Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza è retto.
Infatti è metà dell’angolo al centro che è un angolo piatto di $180°$.