Cosa sono i numeri naturali? L’insieme dei numeri naturali è il primo che incontri nella tua vita. Ripassa come rappresentare i numeri naturali e le prime operazioni: l’addizione e la sottrazione. Dirai: facile! Certo, ma ricordi anche tutte le proprietà di queste operazioni? Qui trovi tutte le proprietà dell’addizione e della sottrazione con esempi ed esercizi svolti.
Appunti
Il primo argomento che incontri nel precorso dimatematica sono gli insiemi numerici non può fare a meno dei numeri! I numeri più facili da imparare sono i numeri naturali, cioè tutti quelli senza la virgola, più grandi di $0$. Ma anche lo $0$ è un numero naturale…
Ma oltre a contare, cos’altro possiamo fare con i numeri naturali? Beh già contando facciamo un’operazione. Stiamo aggiungendo 111 a un numero. L’operazione “aggiungere” viene chiamata addizione. Qui troverai tutte le proprietà dell’addizione:
- proprietà commutativa;
- proprietà associativa;
- proprietà dissociativa.
La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale: la somma è un’operazione interna in $\mathbb{N}$. Attenzione! Lo $0$ è elemento neutro nell’addizione: aggiungendo 000 a qualsiasi numero in $N \mathbb{N}$ il numero rimane quello di partenza.
E se invece contassimo all’indietro? Invece di aggiungere, stiamo “togliendo” un numero alla volta. Questa operazione si chiama sottrazione.
Non è sempre detto che la sottrazione di due numeri naturali sia ancora un numero naturale, la sottrazione non è un’operazione interna in $N \mathbb{N}$ (cioè il risultato potrebbe dare un numero non naturale).
La sottrazione ha la sola proprietà invariantiva: la differenza di due numeri non cambia, aggiungendo o togliendo uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo.
Prerequisiti per imparare addizione e sottrazione in $N$
Il prerequisito per imparare a calcolare addizione e sottrazione in $N$ è:
- Insiemi numerici
Cosa sono e quali sono i numeri naturali
I numeri naturali sono i più intuitivi, quelli che impari da bambino. È questo il motivo per cui è difficile darne una definizione rigorosa.
L’insieme dei numeri naturali $N$ è l’insieme di tutti i numeri maggiori o uguali a zero: $N =$ ${0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; \ldots}$ Nell’insieme dei numeri naturali, quindi, ci sono tutti i numeri interi e positivi più lo zero, nessun numero negativo e nessuna frazione.
E lo 0 ? Alle volte potrai trovare lo 0 tra i numeri naturali, alle volte invece viene escluso. Ogni volta che parli di numeri naturali, ricordati di specificare se comprendi lo 0 oppure no. Così non ci saranno dubbi! Infatti i numeri naturali, così come i punti della semiretta, sono infiniti, puoi partire da zero e andare avanti a elencarli uno ad uno senza mai fermarti!
Come fare l’addizione in N
Quanto fa $2+5$ ? E $374+233$ ? Sono tutti calcoli che sai fare ma ti ricordi qual è la definizione di addizione? Hai mai notato che la somma di due numeri naturali è un numero naturale?
La somma di due numeri naturali è il numero ottenuto contando di seguito al primo tutte le unità del secondo. Quindi, per esempio, per calcolare $5+3$, parto da 5 e conto altre 3 unità: $6,7,8$, il risultato è 8 !
L’operazione per trovare la somma si chiama addizione ed i numeri da sommare si chiamano addendi.
La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale, quindi la somma è un’operazione interna nell’insieme dei numeri naturali $N$
L’elemento neutro dell’addizione è lo 0 : sommando 0 a qualsiasi numero in $N$ il risultato non cambia.
Le proprietà dell’addizione sono tre:
- proprietà commutativa: cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia: $a+b=b+a$, cioè, per esempio: $245+76=76+245$
- proprietà associativa: la somma di tre o più numeri non cambia se a due o più di questi sostituiamo la loro somma: $(a+b)+c=a+(b+c)$, cioè, per esempio, $7+3+5=10+5=7+8$, con $10=$ $7+3$ e $8=3+5$
- proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se a uno di questi sostituiamo più numeri la cui somma sia uguale all’addendo sostituito
Come fare la sottrazione in N
Se a 7 togliamo 5 cosa abbiamo? E se a 5 togliamo 7? II risultato è uguale?
La differenza di due numeri naturali, se esiste, è il numero che aggiunto al secondo dà come somma il primo. L’ operazione per ottenere la differenza è la sottrazione. Dalla definizione possiamo anche dire che la sottrazione è anche l’operazione inversa dell’addizione! Quindi, $57-25=32$ perché se aggiungi 32 a 25 ottieni 57 . Puoi anche pensare di avere 57 oggetti e toglierne 25 , quanti ne rimangono? 32 !
Il primo numero si chiama minuendo, il secondo sottraendo.
Poiché non è sempre detto che la sottrazione di due numeri naturali sia ancora un numero naturale, la sottrazione non è un’operazione interna in $N$. La sottrazione ha la proprietà invariantiva: la differenza di due numeri non cambia, aggiungendo o togliendo uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo.