Scopri le operazioni con i vettori, in particolare in questa lezione impareremo le somme e le diffrenze tra vettori. Verifica quanto imparato con gli esercizi della lezione successiva.
Appunti
Adesso che sai cosa sono i vettori, scopri come si possono calcolare, sia per via geometrica che per via analitica, le somme e le differenze tra vettori.
Impara le proprietà principali delle operazioni tra vettori.
Impara anche perché sono importanti e utili queste operazioni, in particolare, ma non solo, in fisica.
Prerequisiti per imparare addizione e sottrazione di vettori
II prerequisito per imparare addizione e sottrazione di vettori è:
Cosa sono la somma e la differenza tra vettori
Se abbiamo due vettori $\vec{v}=\overrightarrow{A B}$ e $\vec{w}=\overrightarrow{B C}$, il vettore somma $\vec{v}+\vec{w}$ è dato dal segmento orientato che parte da $A$ e termina in $C$, oppure, equivalentemente, dalla diagonale $\overrightarrow{A C}$ del parallelogramma formato dai due vettori dati e dai due vettori ad essi equipollenti $\overrightarrow{D C}$ e $\overrightarrow{A D}$.
Il vettore differenza $\vec{v}-\vec{w}$ è invece dato dall’altra diagonale del parallelogramma, $\overrightarrow{D B}$.
Come si eseguono analiticamente l’addizione e la sottrazione tra vettori
Oltre all’interpretazione geometrica della somma e della differenza tra vettori, esiste anche una interpretazione analitica, che mette in relazione le componenti cartesiane del vettore somma e del vettore differenza con le componenti cartesiane dei vettori di partenza.
In un spazio cartesiano a $N$ dimensioni, dati due vettori $\vec{v}=\left(v_1, v_2, \ldots, v_N\right)$ e $\vec{w}=\left(w_1, w_2, \ldots, w_N\right)$, il vettore somma è dato da da $\vec{v}+\vec{w}=\left(v_1+w_1, v_2+w_2, \ldots, v_N+w_N\right)$. Analogamente, il vettore differenza è dato da $\vec{v}-\vec{w}=\left(v_1-w_1, v_2-w_2, \ldots, v_N-w_N\right)$
Quali sono le proprietà dell’addizione e della sottrazione tra vettori
L’addizione tra vettori gode delle seguenti proprietà:
- proprietà commutativa: $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$
- proprietà associativa: $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$
- esistenza dell’elemento neutro: $\vec{u}+\overrightarrow{0}=\vec{u}$
- esistenza dell’elemento opposto: per ogni vettore $\vec{v}$ esiste il suo vettore opposto, che si indica con $-\vec{v}$, tale che $\vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0}$
In particolare, il vettore nullo $\overrightarrow{0}$ è un vettore avente modulo uguale a zero.
Il vettore opposto è, come già visto, il vettore che ha uguale modulo, uguale direzione e verso opposto rispetto al vettore dato.
Una volta chiarito il concetto di vettore opposto, possiamo definire la differenza tra due vettori $\vec{u} e \vec{v}$ come la somma tra il primo vettore $\vec{u}$ e l’opposto del secondo, $-\vec{v}$.